একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ ( QUADRATIC EQUATIONS WITH ONE VARIABLE )

Updated for Madhyamik 2027
Board Exam Preparation
12 min read
24 MCQs8 Notes
Share:

Key Topics & Concepts

1.মূল ধারণা ও সূত্র

  • দ্বিঘাত সমীকরণের প্রমিত রূপ: ax² + bx + c = 0 (যেখানে a ≠ 0, a,b,c বাস্তব সংখ্যা)
  • শ্রীধর আচার্যের সূত্র (Shridharacharya Formula): x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a
  • বিবিধক (Discriminant): D = b² - 4ac | D > 0: দুটি ভিন্ন বাস্তব মূল, D = 0: দুটি সমান মূল, D < 0: কোনো বাস্তব মূল নেই
  • মূলের যোগফল α + β = -b/a (X-এর সহগের বিপরীত চিহ্ন / X²-এর সহগ)
  • মূলের গুণফল α × β = c/a (ধ্রুবপদ / X²-এর সহগ) | মূল দুটি α, β হলে সমীকরণ: x² - (α+β)x + αβ = 0

2.বাস্তব সংখ্যার উদাহরণ

  • উৎপাদক পদ্ধতি: x² - 7x + 12 = 0 → (x - 3)(x - 4) = 0 → x = 3 বা x = 4 | যাচাই: 3² - 7(3) + 12 = 9 - 21 + 12 = 0 ✓
  • শ্রীধর আচার্যের সূত্র: 2x² - 7x + 3 = 0 → D = 49 - 24 = 25, x = [7 ± 5]/4 → x = 3 বা x = 1/2
  • সমান মূল: x² - 6x + 9 = 0 → D = 36 - 36 = 0 → x = 6/2 = 3 (দুবার)
  • বাস্তব মূল নেই: x² + 2x + 5 = 0 → D = 4 - 20 = -16 < 0 → কোনো বাস্তব মূল নেই
  • মূল থেকে সমীকরণ: α = 2, β = -3 → যোগফল = -1, গুণফল = -6 → সমীকরণ: x² + x - 6 = 0

3.বাস্তব জীবনে প্রয়োগ

  • ক্ষেত্রফল সমস্যা: আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = প্রস্থ + 7, ক্ষেত্রফল = 60 → x(x+7) = 60 → x² + 7x - 60 = 0 → x = 5 মিটার
  • সংখ্যা সমস্যা: দুটি সংখ্যার যোগফল 10, বর্গের যোগফল 58 → x + y = 10, x² + y² = 58 → x² + (10-x)² = 58 → x = 3 বা 7
  • গতিবেগ সমস্যা: দূরত্ব 180 কিমি, বেগ x কিমি/ঘণ্টা বাড়ালে সময় 1 ঘণ্টা কমে → 180/x - 180/(x+10) = 1
  • পণ্য বিক্রয়: মূল্য x টাকা কমালে (50-x)(300+10x) = সর্বোচ্চ আয় → দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করে সর্বোচ্চ মুনাফা
  • WBBSE exam এ প্রায়শই গতিবেগ, ক্ষেত্রফল, বয়স সম্পর্কিত দ্বিঘাত সমীকরণ আসে

4.পরীক্ষার জন্য গুরুত্বপূর্ণ টিপস

  • প্রথমে ax² + bx + c = 0 প্রমিত রূপে আনুন (সব পদ এক পাশে, ডানদিকে 0) | 3x² = 12x - 9 → 3x² - 12x + 9 = 0
  • উৎপাদক সহজ হলে (ছোট সংখ্যা) দ্রুত সমাধান: x² - 5x + 6 = (x-2)(x-3) | শ্রীধর সূত্র সময় নেয়, জটিল হলে ব্যবহার করুন
  • বিবিধক D গণনায় সাবধান: b² - 4ac এ চিহ্ন সাবধানে | c ঋণাত্মক হলে -4ac = +4a|c|
  • মূলের যোগফল/গুণফল প্রশ্নে: α + β = -b/a মনে রাখুন (b-এর বিপরীত চিহ্ন), αβ = c/a | দ্রুত উত্তর
  • মাধ্যমিক পরীক্ষায় MCQ টপিক: মূলের প্রকৃতি নির্ণয় (D-এর মান), উৎপাদক পদ্ধতি, মূলের যোগফল-গুণফল | উত্তর যাচাই: মূল বসিয়ে 0 হয় কিনা
Scroll →
Q. 1
x² – 6x + 2 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি
A
2
B
6
C
–6
D
–2
Click an option to check your answer
Q. 2
x² = 25 সমীকরণের একটি মাত্র বীজ 5
A
উল্লেখ নেই
B
অস্পষ্ট
C
সত্য
D
মিথ্যা
Click an option to check your answer
Q. 3
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের চলের সর্বোচ্চ ঘাত কত?
A
1
B
2
C
3
D
কোনোটিই নয়
Click an option to check your answer
Q. 4
x² + x + 1 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব।
A
সত্য
B
মিথ্যা
Click an option to check your answer
Q. 5
x² + ax + 3 = 0 সমীকরণের একটি বীজ যদি 1 হয়, তবে a এর মান কত?
A
–2
B
–3
C
–4
D
–1
Click an option to check your answer
Q. 6
ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব এবং অসমান হলে, b² − 4ac হবে
A
> 0
B
= 0
C
< 0
D
কোনোটিই নয়
Click an option to check your answer
Q. 7
4(5x²–7x+2) = 5(4x²–6x+3) সমীকরণটি কোন শ্রেণির?
A
রৈখিক
B
দ্বিঘাত
C
ত্রিঘাত
D
কোনোটিই নয়
Click an option to check your answer
Q. 8
x² = 6x সমীকরণটির বীজদ্বয়
A
3 এবং 2
B
0 এবং 6
C
0 এবং 36
D
6 এবং −6
Click an option to check your answer
Q. 9
(x–3)² = x² − 6x + 9 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
A
সত্য
B
মিথ্যা
Click an option to check your answer
Q. 10
x² − 3x + k = 10 সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল −2 হলে, k-এর মান
A
−10
B
−8
C
10
D
8
Click an option to check your answer
Q. 11
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের চলের সর্বোচ্চ ঘাত
A
1
B
2
C
3
D
কোনোটিই নয়
Click an option to check your answer
Q. 12
ax² + bx + c = 0 দ্বিঘাত সমীকরণ হলে
A
a ≠ 0
B
b ≠ 0
C
c ≠ 0
D
কোনোটিই নয়
Click an option to check your answer
Q. 13
4(5x² − 7x + 2) = 5(4x² − 6x + 3) সমীকরণটি
A
রৈখিক
B
দ্বিঘাত
C
ত্রিঘাত
D
কোনোটিই নয়
Click an option to check your answer
Q. 14
যদি একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজই 1 হয়, তাহলে সমীকরণটি হলো
A
x² − 2 = 0
B
x² − 1 = 0
C
(x − 1)² = 0
D
(x + 1)² = 0
Click an option to check your answer
Q. 15
ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে
A
c = b/2a
B
c = b²/4a
C
c = −(b/2a)
D
c = −b²/4a
Click an option to check your answer
Q. 16
x² + x + 1 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় কীরূপ?
A
বাস্তব ও সমান
B
শূন্য
C
অবাস্তব
D
বাস্তব ও অসমান
Click an option to check your answer
Q. 17
ax²+bx+c=0 দ্বিঘাত সমীকরণ হলে কোন শর্তটি অবশ্যই সত্য?
A
b ≠ 0
B
a ≠ 0
C
c ≠ 0
D
a = 0
Click an option to check your answer
Q. 18
যদি ax² + bx + c = 0 সমীকরণটির a = 0 এবং b ≠ 0 হয়, তবে সমীকরণটি একটি
A
রৈখিক
B
দ্বিঘাত
C
ত্রিঘাত
D
কোনোটিই নয়
Click an option to check your answer
Q. 19
x² – x + 2 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় কীরূপ?
A
বাস্তব ও অসমান
B
পূর্ণ সংখ্যা
C
বাস্তব ও সমান
D
অবাস্তব
Click an option to check your answer
Q. 20
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজের সংখ্যা কত?
A
একটি
B
দুটি
C
তিনটি
D
কোনোটিই নয়
Click an option to check your answer
Q. 21
3x² + 8x + 2 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় α এবং β হলে, (1/α + 1/β) এর মান কত?
A
−4
B
4
C
2/3
D
−3/8
Click an option to check your answer
Q. 22
x² − x + 2 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব নয়।
A
সত্য
B
মিথ্যা
Click an option to check your answer
Q. 23
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজের সংখ্যা
A
একটি
B
দুটি
C
তিনটি
D
কোনোটিই নয়
Click an option to check your answer
Q. 24
x² = 25 সমীকরণের একটি মাত্র বীজ 5
A
মিথ্যা
B
সত্য
Click an option to check your answer